Teorija

9. Tjedan

• Višestruke derivacije, parametarske funkcije i primjena teorema diferencijalnog računa

---

1. Višestruke derivacije i diferencijali

1.1. Definicija višestrukih derivacija

Krenimo od prve derivacije $f'(x)$ funkcije $f(x)$.

• Druga derivacija $f''(x)$ dobiva se kao derivacija prve derivacije:

  $$f''(x) = \frac{d}{dx} \bigl(f'(x)\bigr).$$

• Treća derivacija $f^{(3)}(x)$ je derivacija druge derivacije, i tako dalje, pa općenito za n-ti red derivacije vrijedi:

  $$f^{(n)}(x) = \frac{d^n}{dx^n} f(x).$$

Primjer: Ako je $f(x) = x^4$, tada:

$$f'(x) = 4x^3, \quad f''(x) = 12x^2, \quad f^{(3)}(x) = 24x, \quad f^{(4)}(x) = 24, \quad f^{(5)}(x) = 0.$$

1.2. Druga derivacija i njeno značenje

• Druga derivacija informira nas o promjeni nagiba funkcije.
• U fizici, ako je $s(t)$ položaj tijela, onda je $s'(t) = v(t)$ brzina, a $s''(t) = a(t)$ ubrzanje.
• U analizi funkcija, znak druge derivacije govori o konkavnosti i konveksnosti:
  • Ako je $f''(x) > 0$ za sve $x$ u intervalu, krivulja je konveksna (oblik “smiješka”).
  • Ako je $f''(x) < 0$, krivulja je konkavna (oblik “namrgođene” parabole).

1.3. n-ti red derivacije i primjene

• Višestruke derivacije (treći, četvrti i sl. red) koriste se pri analizi složenih fizikalnih sustava (npr. jerk – “ubrzanje ubrzanja” je treća derivacija položaja).
• U Taylorovom razvoju funkcija $f(x)$ oko točke $a$, derivacije višeg reda ključne su za računanje viših članova ekspanzije: $$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.$$

1.4. Višestruki diferencijali

Diferencijal prve derivacije je:

$$dy = f'(x)\,dx.$$

Za drugi diferencijal, formalno se može pisati:

$$d^2y = d(dy) = d\bigl(f'(x)\,dx\bigr).$$

Međutim, u klasičnoj se analizi rjeđe upotrebljava $d^2y$ kao praktično sredstvo; češće se radije oslanjamo na $f''(x)$.

1.5. Aplikacije višestrukih derivacija u analizi funkcija (konkavnost, konveksnost, infleksijske točke)

• Konkavnost i konveksnost:
  • $f''(x) > 0$ → funkcija je konveksna.
  • $f''(x) < 0$ → funkcija je konkavna.
• Infleksijske točke: Točke gdje dolazi do promjene iz konveksnosti u konkavnost ili obratno. Najčešće su točke gdje je $f''(x) = 0$ (uz uvjet da se promijeni predznak $f''(x)$).

Primjer: Za $f(x) = x^3$:

• $f'(x) = 3x^2$,
• $f''(x) = 6x$.
  • $f''(x) = 0$ daje $x = 0$.
  • Za $x < 0$, $f''(x) < 0$ → funkcija konkavna.
  • Za $x > 0$, $f''(x) > 0$ → funkcija konveksna.
  • $x = 0$ je infleksijska točka.

---

2. Deriviranje parametarski zadanih funkcija

2.1. Uvod u parametarski zadane funkcije

Parametarske funkcije su funkcije gdje se $x$ i $y$ ne izražavaju izravno jedno preko drugoga (npr. $y = f(x)$), nego oboje ovise o nekom parametru $t$:

$$\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$$

Primjer: Jednadžba kruga polumjera 1 (jednostavnije zadana parametarski):

$$x(t) = \cos t, \quad y(t) = \sin t, \quad t \in [0,2\pi].$$

2.2. Derivacija prvog reda (dy/dx) za parametarske funkcije

Ako je $y = y(t)$ i $x = x(t)$, te su obje funkcije derivabilne, tada:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{y'(t)}{x'(t)}, \quad \text{pod uvjetom } x'(t) \neq 0.$$

Primjer:
Ako je

$$x(t) = 2t + 1, \quad y(t) = t^2 + 3,$$

tada

$$\frac{dy}{dt} = 2t, \quad \frac{dx}{dt} = 2.$$

Stoga

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2t}{2} = t.$$

2.3. Druga derivacija (d²y/dx²) za parametarske funkcije

Za dobivanje druge derivacije trebamo ponovno derivirati $\tfrac{dy}{dx}$ po $x$:

$$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr) = \frac{\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)}{\frac{dx}{dt}}.$$

Ovo proizlazi iz lanca deriviranja i činjenice da je $\tfrac{d}{dx} = \tfrac{1}{\tfrac{dx}{dt}} \tfrac{d}{dt}$.

Primjer (nastavak prethodnog):
Imamo $\tfrac{dy}{dx} = t$. Deriviramo po $t$:

$$\frac{d}{dt}\bigl(t\bigr) = 1.$$

Zatim dijelimo s $\frac{dx}{dt} = 2$, pa je:

$$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{1}{2}.$$

2.4. Primjene u geometriji i kinematici

• Geometrija: Parametarske jednadžbe za krivulje (npr. eliptične, kružne) omogućuju računanje nagiba, krivosti i duljine luka.
• Kinematika: Ako je $(x(t), y(t))$ putanja čestice u ravnini, tada su $x'(t), y'(t)$ komponente brzine, dok se ubrzanje može dobiti derivacijom tih komponenata.

---

3. Teoremi diferencijalnog računa

3.1. Fermatov teorem

• Definicija: Ako $f$ ima lokalni ekstrem (minimum ili maksimum) u točki $x_0$ i derivabilna je u $x_0$, tada je $$f'(x_0) = 0.$$
• Dokaz (skica): U blizini ekstrema derivacija mora mijenjati predznak ili biti jednaka nuli u točki $x_0$. To implicira da je upravo $f'(x_0) = 0$.
• Značaj: Fermatov teorem daje temeljnu metodu pronalaženja ekstrema postavljanjem jednadžbe $f'(x) = 0$.

3.2. Rolleov teorem

• Izjava: Ako je $f$ kontinuirana na $[a,b]$ i derivabilna na $(a,b)$, te vrijedi $f(a) = f(b)$, postoji barem jedna točka $c \in (a,b)$ takva da $$f'(c) = 0.$$
• Primjer: $f(x) = (x-a)(x-b) + k$, gdje je $f(a) = f(b)$. Rolleov teorem jamči da postoji barem jedna točka između $a$ i $b$ gdje je $f'(x) = 0$.
• Geometrijsko značenje: Ako dva kraja grafa funkcije imaju istu visinu, mora postojati “vrh” ili “dolina” između (tangenta paralelna s x-osi).

3.3. Cauchyjev teorem srednje vrijednosti

• Uvjeti i formulacija: Za dvije funkcije $f$ i $g$, kontinuirane na $[a,b]$ i derivabilne na $(a,b)$, uz $g'(x) \neq 0$, postoji barem jedna točka $c \in (a,b)$ takva da $$\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}.$$
• Povezanost: Ovo je općenitija verzija Lagrangeova teorema. Kad je $g(x) = x$, dobivamo Lagrangeov MVT.

3.4. Lagrangeov teorem srednje vrijednosti

• Izjava: Ako je $f$ kontinuirana na $[a,b]$ i derivabilna na $(a,b)$, postoji točka $c \in (a,b)$ takva da $$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$$
• Dokaz (skica): Primjenjuje se Rolleov teorem na funkciju $F(x) = f(x) - \bigl(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\bigr)x$, uz prikladno pomicanje grafa.
• Primjena: Analiza funkcije i aproksimacije - npr. duljina putanje, prosječna brzina.

---

4. L'Hospitalovo pravilo i računanje limesa neodređenih oblika

4.1. Uvod u neodređene oblike limesa

Neodređeni oblici su slučajevi u kojima se izravna evaluacija limesa daje nešto poput:

• $\tfrac{0}{0}$
• $\tfrac{\infty}{\infty}$
• $0 \cdot \infty$
• $\infty - \infty$
• $0^0, 1^\infty, \infty^0$

Ovakvi oblici zahtijevaju dodatne manipulacije da bi se limes pravilno izračunao.

4.2. Izvođenje L'Hospitalovog pravila

L’Hospitalovo pravilo kaže:
Ako su $f$ i $g$ derivabilne na intervalu oko točke gdje želimo izračunati limes, te imamo neodređeni oblik $\tfrac{0}{0}$ ili $\tfrac{\infty}{\infty}$, tada vrijedi:

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)},$$

pod uvjetom da desni limes postoji (ili je $\pm \infty$).

4.3. Primjena L'Hospitalovog pravila na oblike:

• $\tfrac{0}{0}$
• $\tfrac{\infty}{\infty}$

Primjer:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}.$$

Direktna evaluacija daje $\tfrac{0}{0}$. Primijenimo L’Hospitalovo pravilo:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos(0) = 1.$$

4.4. Ostali neodređeni oblici i njihova transformacija

• $0 \cdot \infty$ → prebaciti u oblik $\tfrac{0}{0}$ ili $\tfrac{\infty}{\infty}$ tako da napišemo $a \cdot b = \tfrac{a}{1/b}$.
• $\infty - \infty$ → svedemo na zajednički nazivnik.
• $0^0, 1^\infty, \infty^0$ → transformacija pomoću logaritmiranja: $$\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = \exp\Bigl(\lim_{x \to a} g(x)\ln\bigl(f(x)\bigr)\Bigr).$$

4.5. Primjeri i vježbe za računanje limesa

1. $\lim_{x \to 0} \tfrac{e^x - 1}{x}$
2. $\lim_{x \to \infty} \tfrac{3x^2 + x}{2x^2 - x + 1}$
3. $\lim_{x \to \infty} \bigl(1 + \tfrac{1}{x}\bigr)^x$

4.6. Ograničenja i nepravilna primjena L'Hospitalovog pravila

• Moramo imati derivabilnost i ispravan neodređeni oblik ($\tfrac{0}{0}$ ili $\tfrac{\infty}{\infty}$).
• Ako je granična vrijednost $\tfrac{f'(x)}{g'(x)}$ i dalje neodređena, možemo primijeniti L’Hospitalov postupak opet, ali uvijek uz oprez.

---

5. Primjene derivacija i limesa

5.1. Analiza brzine i ubrzanja

U kinematici, ako je položaj $s(t)$:

• $v(t) = s'(t)$ je brzina,
• $a(t) = s''(t)$ je ubrzanje.

Ako želimo znati ponašanje za velika $t$, možemo tražiti $\lim_{t \to \infty} v(t)$ ili $\lim_{t \to \infty} s(t)$ kako bismo procijenili asimptotsko gibanje.

5.2. Optimizacija funkcija pomoću višestrukih derivacija

• Pronalazak ekstremne vrijednosti: $f'(x_0) = 0$.
• Priroda ekstrema:
  • Ako je $f''(x_0) > 0$, $x_0$ je lokalni minimum.
  • Ako je $f''(x_0) < 0$, $x_0$ je lokalni maksimum.
  • Ako je $f''(x_0) = 0$, treba dublju analizu (viši red derivacija).

5.3. Identifikacija ponašanja funkcije na granicama intervala

Uz derivacije i limes možemo vidjeti:

• Dolazi li funkcija do asimptote?
• Ima li funkcija “skok” na rubovima intervala?
• Koliko je stabilno rješenje za $x \to \infty$ ili $x \to -\infty$?

5.4. Modeliranje u ekonomiji i fizici koristeći limes i derivacije

• Ekonomija: marginalni trošak $C'(x)$, marginalna korist, analiza limesa za proizvodnju $x \to \infty$.
• Fizika: granično ponašanje ubrzanja, brzine ili energije kod velikih vremena ili velikih udaljenosti.

---

6. Zaključak

6.1. Sinteza koncepta višestrukih derivacija, diferencijala i parametarskih funkcija

U ovoj lekciji obradili smo:

• Višestruke derivacije i diferencijale,
• Parametarske funkcije i način deriviranja,
• Teoreme (Fermat, Rolle, Cauchyjev, Lagrangeov) kao temeljnu teorijsku osnovu diferencijalnog računa.

6.2. Značaj teorema diferencijalnog računa u matematici i znanosti

Teoremi diferencijalnog računa omogućuju:

• Pouzdanu analizu ekstremnih vrijednosti,
• Praktične alate (poput L’Hospitala) za rješavanje limesa,
• Precizno modeliranje u raznim znanostima (fizika, ekonomija, biologija, inženjerstvo).

6.3. Primjer primjene L'Hospitalovog pravila

Za kraj, još jedan praktičan primjer:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}.$$

Bez dodatnih alata, vidimo da se brojač raste linearnom brzinom, a nazivnik raste eksponencijalno, pa limes očekujemo da je $0$.

• Primjenom L’Hospitala (za $\tfrac{\infty}{\infty}$ oblik):

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^x} = 0.$$

Vježbe

Ispit

Što predstavlja druga derivacija funkcije $f(x)$?

1. Brzina promjene funkcije

2. Nagib tangente na graf funkcije

3. Brzina promjene brzine (ubrzanje)

4. Površina ispod grafa funkcije

Kako se definira druga derivacija funkcije $f(x)$?

$f''(x) = \frac{d}{dx} f(x)$

$f''(x) = \frac{d^2}{dx^2} f(x)$

$f''(x) = [f'(x)]^2$

$f''(x) = f(x)''$

Koja od sljedećih točaka je infleksijska za funkciju $f(x) = x^3$?

$x = -1$

$x = 0$

$x = 1$

Nema infleksijskih točaka

Kako se računa prva derivacija $\frac{dy}{dx}$ za parametarske funkcije $x(t)$ i $y(t)$?

$\frac{dy}{dx} = \frac{dx}{dt} / \frac{dy}{dt}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} / \frac{dx}{dt}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} - \frac{dx}{dt}$

Što kaže Fermatov teorem o lokalnim eksterma funkcije?

Ako funkcija ima lokalni ekstrem, druga derivacija je pozitivna.

Ako funkcija ima lokalni ekstrem, prvi derivat je nula.

Ako funkcija ima lokalni ekstrem, prvi derivat ne postoji.

Ako funkcija ima lokalni ekstrem, funkcija je neprekidna.

Pod kojim uvjetima se primjenjuje Rolleov teorem?

Funkcija je derivabilna na zatvorenom intervalu i imaju različite vrijednosti na krajevima.

Funkcija je kontinuirana na zatvorenom intervalu i derivabilna na otvorenom intervalu, te imaju iste vrijednosti na krajevima.

Funkcija je samo derivabilna na intervalu.

Funkcija ima infleksijske točke na intervalu.

Koja je tvrdnja L'Hospitalovog pravila ispravna?

Ako $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ daje oblik $\frac{1}{0}$, onda je limes jednak nuli.

Ako $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ daje oblik $\frac{0}{0}$ ili $\frac{\infty}{\infty}$, tada limes može biti izračunat kao $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

L'Hospitalovo pravilo se primjenjuje samo na $\frac{0}{0}$ oblike.

L'Hospitalovo pravilo zamjenjuje funkcije s njihovim integralima.

Koji oblik limesa ne spada u neodređene oblike koje L'Hospitalovo pravilo može riješiti direktno?

$\frac{0}{0}$

$\frac{\infty}{\infty}$

$0 \cdot \infty$

$\frac{1}{1}$

Kako se računa druga derivacija $\\frac{d^2y}{dx^2}$ za parametarske funkcije?

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt} \left( \frac{dy}{dx} \right)$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d^2y}{dt^2} / \frac{dx}{dt}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt} \left( \frac{dy}{dx} \right)}{\frac{dx}{dt}}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{dt} / \frac{d^2x}{dt^2}$

Koja je primjena višestrukih derivacija u analizi funkcija?

Pronalaženje integralnih vrijednosti

Određivanje konkavnosti, konveksnosti i infleksijskih točaka

Definiranje parametarskih funkcija

Računanje neodređenih limesa

Koja je primjena L'Hospitalovog pravila pri računanju limesa?

Izračunavanje integrala neodređenih oblika

Računanje limesa izraza koji daju oblike $\frac{0}{0}$ ili $\frac{\infty}{\infty}$

Pronalaženje ekstrema funkcije

Određivanje parametarskih derivacija